LA INTEGRAL DE NEWTON VS LEIBNIZ

La integral se define como la suma infinita de elementos infinitamente pequeños, se interpreta como el área comprendida entre la curva y el eje de la variable cuando tenemos una función de una variable y bla, bla, bla...

Esta es la definición de una integral que podemos encontrar en la mayoría de libros de matemáticas. Es lo que nos explican (o deberían) en los cursos preuniversitarios y es lo que se nos reexplica en los primeros años de universidad a todos los estudiantes de ingenierías, ciencias físicas, química y cualquier grado relacionado con las ciencias en general. En el caso de integrales para una sola variable (una dimensión), siempre encontramos su definición ligada a una expresión tal que:

Donde f(x) es una función contínua y derivable, dx es el elemento infinitesimal o diferencial y F(x) la función llamada primitiva, que viene acompañada por una constante K arbritaria. Ambas conforman lo que vulgarmente llamamos "resultado" de la integral.

Todo esto es muy interesante, y es muy importante comprenderlo y saber interpretarlo correctamente si nos encontramos estudiando algún campo de los anteriormente mencionados. La cosa es que en mi caso particular, la primera vez que se me habló de esto, se me presentó como la integral de Newton. Newton, ese personaje casi divino, conocidísimo de siempre. Sus leyes de la dinámica, su ley de la gravitación universal y, además, inventor del cálculo diferencial (entre otras cosas). Madre mía, ¿pero qué comía este hombre? Menudo monstruo, ¿no? Bueno. Sin duda era muy inteligente, tenia una dedicación admirable por sus estudios y realizó grandes avances en los campos de la física y las matemáticas. Años más tarde, se me presentó de nuevo el mismo concepto, pero esta vez lo llamaron la integral de Newton-Leibniz.

Leibniz... ¿Quién era este Leibniz? ¿Qué hacía ahí, al lado de Newton? Lo primero que pensé era que podría ser el segundo apellido de Newton, pero "Isaac Newton Leibniz" no parecía tener mucho sentido. Claro, Leibniz tenía que ser otra persona. Pero, ¿qué hizo esta persona para aparecer al lado de Newton en uno de los descubrimientos más famosos de este?

El cálculo infinitesmial no es ningun tema baladí, no es ninguna broma. Es una herramienta potentísmia que nos dan las matemáticas para poder explicar la naturaleza, para poder hacer CIENCIA. Newton lo desarrolló a partir de deducciones geométricas para explicar sus leyes de la dinámica y darle un sentido lógico-matemático a los fundamentos de la cinemática de Galileo. Además, en la época de Newton no había computadoras con programas de cálculo. Tampoco había tablas de derivadas e integrales immediatas disponibles en ningún libro. De hecho, no había cálculo infinitesimal (¡¡lo inventó él!!) Lo que había era geometría y tiempo para estudiar. Bueno, lo del tiempo es relativo. No todo el mundo tenia recursos para estudiar ni tiempo para dedicarle al estudio. Newton era un noble, llegó a ser "Sir" de su majestad. Un campesino que se dedicara a criar cerdos no tenía suficiente tiempo. Debía trabajar para comer y alimentar a su família, aún no se había inventado la "jornada laboral". Simplemente salía el sol y se trabajaba hasta que se escondiese. Punto. Bien, Newton sí tenía el tiempo, los recursos y las ganas suficientes para hacer todo lo que hizo. Merece todo el mértio para que la integral lleve su nombre ¿Pero Leibniz?

Investigando, resultó ser que Gottfried Leibniz era un matemático, coetáneo de Newton, del Sacro Imperio Romano Germanico. Uno de los filósofos y pensadores más grandes de los siglos XVII y XVIII. Apodado como "el último genio universal" hizo grandes contribuciones en los campos de la metafísica, la epistemología, la física, las matemáticas, la teología, historia, geología y jurisprudencia. Uno de sus aportes, como podréis suponer, fué el desarrollo del cálculo infinitesimal.

Y os preguntaréis: ¿Cómo? ¿El mismo cálculo que Newton? Pues sí. Y lo hizo de manera independiente. Es decir, tanto Newton como Leibniz desarrollaron las mismas herramientas de las matemáticas que ahora conocemos como cálculo diferencial sin hablarse ni conocerse. O sea, que no lo inventó sólo Newton.

Haciendo un alarde de comportamiento humano, lejos de poner en común sus conociemientos y ahondar en el estudio de sus desarrollos, estos dos grandes estudiosos eligieron la inteligente vía de la discusión y la acusación de plagio el uno al otro para determinar quién de los dos lo inventó primero. La discusión no tenía ningún sentido, pues  lo hicieron al mismo tiempo. El plagio era imposible, pues ni se conocían, ni vivían en el mismo país. Estas dos mentes dedicadas al estudio discutieron hasta el día de su muerte. Uno más que el otro, pues Newton tenía contiendas con otros personajes de los que ya hablaremos, como por ejemplo Robert Hooke. Sabiendo esto, me sigo preguntando, ¿por qué se explicaba la integral de Newton y no la de Newton-Leibniz?

Parece ser que la influencia de Newton, su poder, su "control de los medios" (si se permite el anacronismo), permitió que durante siglos, fuese él el considerado inventor del cálculo infnitesimal. Paradójicamente, la integral como la conocemos (el área bajo la curva...) es una definición de Leibniz. Así como los símblos que utilizamos (la S alargada para definir una integral, los diferenciales dx, dy, dz) también fueron introducidos por Leibniz. Sin embargo, algunos aún la llaman la integral de Newton, sólo de Newton. Por suerte, ya es difícil encontrar la integral definida y explicada sin nombrar a ambos. Pero aún así, se le llama la integral de Newton-Leibniz. Newton sigue estando por delante, aún cuando el orden alfabético que se debería aplicar en estos casos, no se cumple.

En fin, muchas veces la historia es injusta con los protagonistas. Es imposible determinar quien de los dos tiene más mérito a la hora de "descubrir" el cálculo infinitesimal, pero no debemos dejar a ninguno de lado. Su aportación a las matemáticas es tal, que les debemos dar las gracias In sæcula sæculorum. Perdonemos sus discusiones y aprendamos de ellos. 

Si hubiesen llegado a las manos, ¿por quién apostaríais?

Hasta la próxima!

LAS LEYES DE KIRCHHOFF

En esta entrada vamos a intentar comprender qué pudo llevar a Kirchhoff a deducir sus leyes de los nodos y las mallas en 1845. Kirchhoff anunció sus leyes mientras aún era estudiante de la Albertus University of Königsberg, bajo la tutela de su mentor Franz Ernst Neumann. Las leyes de kirchhoff se publicaron como extensión de la ley de Ohm. La generalidad de sus resultados así como la simplificación de los cálculos demuestran las excelentes habilidades matemáticas de este personaje. Pero, ¿qué pudo llevarle a pensar en estas leyes tan generales? La necesidad de establecer una red eléctrica bien distribuida y eficiente era un problema actual para la época. Había que resolverlo. La idea de Kirchhoff era aplicar algo tan sencillo como los principios básicos de conservación conocidos.

Principios de conservación:

Como hemos dicho las leyes de Kirchoff para la resolución de circuitos se pueden deducir a partir de dos principios de conservación básicos en la ciencia.

El primero es un principio fundamental en ciencia. El principio de conservación de la carga. Aquí podéis ver el que probablemente sea el primer enunciado de este principio. Escrito por Benjamin Franklin en 1747:

"Ahora se ha descubierto y demostrado, tanto aquí como en Europa, que el Fuego Electrico es un elemento real, o Especie Material, no creada por fricción, sino recogida"

-Benjamin Franklin, Carta a Cadwallader Colden, 5 de junio de 1747

Básicamente este principio afirma que en cualquier proceso eléctrico la carga total de un sistema aislado se conserva. Es decir, que la cantidad de partículas cargadas es la misma al inicio y al final del proceso. Este principio tiene gran aplicación en química (en las reacciones químicas se producen intercambios de partículas cargadas) como trataremos en futuras entradas.

El segundo es el principio de conservación de la energía. Este es básico en física y constituye el primer principio de la termodinámica.

Básicamente este principio dice que la energía no se genera de la nada. Se puede transmitir entre sistemas en forma de calor, energía mecánica, trabajo, etc. Además se mantiene constante, o sea que la energía que se le transmite a un sistema es igual a la suma de energías que transmite dicho sistema, ya sea trabajo realizado por el mismo, energía que se pierde en forma de calor, etc.

Leyes de kirchhoff:

Pero, ¿qué relación tienen estos principios con las leyes de kirchhoff y los circuitos eléctricos? Bien, si centramos nuestra atención en la primera de las leyes de Kirchhoff encontraremos su clásico enunciado:

“En cualquier nodo de un circuito, la suma de las corrientes entrantes es igual a la suma de las corrientes salientes.”

Y su traducción matemática:

 

Es decir, que la cantidad de corriente que entra en un punto del circuito es igual a la cantidad de corriente que sale del mismo. ¿Y que es la corriente? Pues la corriente se define como la CANTIDAD DE ELECTRONES que pasan por un cable de cierta sección por unidad de tiempo. ¡Vaya! ¡Cantidad de electrones! Es decir, que es una cantidad de PARTÍCULAS CARGADAS que a la entrada de un punto y a la salida es la misma. O sea, que se conserva. Así pues la primera ley de Kirchhoff hace referencia directa al principio de conservación de la carga.

¿Adivináis a que principio de conservación hace referencia la segunda ley de Kirchhoff? Pues sí, a la conservación de la energía. Vamos a verlo.

En un circuito de corriente continua tenemos elementos que aportan energía, típicamente pilas o fuentes de energía variable. Del mismo modo, tenemos otros elementos que disipan energía, típicamente resistencias. Las fuentes de energía aportan cierta cantidad de energía que es consumida (en parte) por las resistencias. Es fácil de comprobar sobre un circuito sencillo porque al poco tiempo de ponerlo en marcha, las resistencias se calientan (pueden llegar a quemarse), es decir, disipan energía en forma de calor.

La segunda ley de Kirchhoff dice que :

“En una malla, la tensión proporcionada es igual a la suma de caídas de tensión a lo largo de la misma”.

Y su traducción matemática:

La tensión proporcionada no es más que la energía que aporta una pila. La caída de tensión es la diferencia de energía potencial que encontramos entre los extremos de una resistencia, que es debida a la disipación de energía en forma de calor de la que hemos hablado.

Puedes seguir la resolución de un circuito eléctrico aplicando estas leyes en el siguiente vídeo.

Conclusiones:

La ciencia proporciona una manera de resolver los problemas a partir de pruebas, deducciones lógicas y desarrollos teóricos basados en el conocimiento ya desarrollado. En esta ocasión, vemos que las Leyes de Kirchhoff, que parecen surgir de la nada, no son más que la aplicación de los principios de conservación fundamentales con el fin de resolver un problema. Sí es cierto que Kirchhoff fue capaz de desarrollar un sistema matemático sencillo para el cálculo, cosa que requiere de un gran trabajo así como de una gran capacidad de abstracción y deducción, pero tendemos a “diosificar” a los científicos sin pensar en el arduo trabajo que probablemente le costó dicha deducción así como la formación previa y la total dedicación a la resolución del problema. No pretendemos con esto menospreciar el trabajo de Kirchhoff ni mucho menos, es uno de los grandes científicos de la historia y sus aportaciones tanto en el campo de la electricidad como de la termodinámica son de primerísimo nivel. Simplemente tratamos de “humanizar” a este gran científico que, sin duda, ayudó a cambiar el mundo.

Hasta la próxima!